數學與科學

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平移旋轉縮放順序為何不能對調？仿射矩陣怎麼讀

同一個三角形，先轉再移、先移再轉，結果常常對不上作業答案。本文說明本站工具以原點為中心、先縮放再旋轉再平移的固定順序，虛線與實線在對什麼，以及 2×3 仿射矩陣各欄代表位移還是旋轉。適合國高中對圖，不展開完整線性代數。

在正方形裡隨機撒點，用落在四分之一圓內的比例去估圓周率，看起來像在碰運氣。本文說明面積比為何等於機率、估算式 4 乘圓內比例從哪來，以及點數變多時誤差為什麼只是慢慢縮小、過程仍會上下抖。不講如何把 π 背到幾百位。

輸入 y = x^2 卻看不懂紅點與對稱在標什麼，是繪圖工具最常見的卡關。本文以二次函數說明 y 截距、x 截距、開口方向，以及偶函數對 y 軸、奇函數對原點的差別。繪圖是取樣與視野內的數值結果，不是證明題的完整因式分解。

作業或面試常問哪種排序穩定，看動畫卻對不到定義。本文說明穩定是指相同鍵值誰先誰後不能被打亂、為何合併與插入穩定而快速與選擇通常不穩定，以及什麼時候該看平均時間、什麼時候該看最壞情況。不寫成演算法教科書。

多人墊款不必讓每筆消費都逐一還款。先把每人的應收應付合併成淨額，再配對債權與債務，就能大幅減少轉帳。本文解析分帳工具的演算法、限制與核對方法。

英文 WPM 的一個字常以五個字元折算，中文輸入則更適合搭配 CPM 與正確率判讀。本文解析打字測驗如何計時、扣除錯誤，以及不同平台分數為何不能直接相比。

圖片壓縮不是單純縮小尺寸，而是利用像素重複、視覺感知與編碼方式減少資料。本文比較 JPEG、PNG、WebP 的有損與無損原理，以及品質參數為何不能直接當百分比。

QR Code 被污損仍可能讀取，靠的是錯誤更正碼而非魔術。本文直觀說明冗餘資料如何修復缺損，以及不同容錯等級在掃描可靠度與密度間的取捨。適合想理解原理與日常應用的讀者。

商品條碼末碼不是隨便編的，而是用來驗證前面數字是否正確。本文以常見 EAN／UPC 檢查碼計算說明錯誤偵測概念，並釐清它與加密防偽的差別。適合想理解原理與日常應用的讀者。