平面上的圖形可以被移動、轉動、放大縮小。這三件事合稱常見的仿射變換：直線仍是直線，平行仍平行，但長度與角度可以變。作業最容易錯的不是正弦餘弦怎麼查，而是順序。同一組數字，先旋轉再平移，和先平移再旋轉，三角形會停在不同位置。本站工具把順序鎖成：以原點為中心先縮放、再旋轉、最後平移。虛線是原圖，實線是變完的結果。本文講為什麼要鎖順序、矩陣三欄在記什麼；不把特徵向量與齊次座標整章搬進來。
為什麼「先轉後移」和「先移後轉」不一樣
旋轉預設繞原點。一個點若已經不在原點，再轉一次，走的是以原點為圓心的弧，不是繞自己的重心轉。所以你若先把三角形平移到右邊，再下達「轉 45 度」，它會繞原點掃出一大段，看起來像飛走。若先轉 45 度（此時還在原點附近），再平移，它只是斜著放到新位置，軌跡單純得多。
縮放同樣預設對原點。先放大再移，和先移再放大，遠近會差一截：離原點愈遠的點，被放大得愈誇張。工具把縮放放在旋轉前面、兩者都在平移之前，是為了讓「大小與朝向」先在原點處理完，最後才用平移決定落點。這不是唯一合法順序，只是這套畫面採用的約定。作業若寫「先平移再旋轉」，請不要用本工具的預設滑桿去對答案，除非你把平移先設成 0、轉完再改平移。
螢幕座標常常 y 軸向下；數學課 y 軸向上。畫布已把數學 y 翻成看起來向上，所以你在圖上看到的「往上移」與矩陣裡的正向 ty 一致。對作業時以數學座標為準，不要拿螢幕像素去量。
2×3 矩陣三欄分別在幹嘛
仿射平面變換可以用兩列、三欄的數字表示。對列向量寫法，最後一欄是平移；前兩欄裝縮放與旋轉混在一起的係數。工具顯示的數值與畫面套用同一組：先把點的 x、y 乘上含比例的餘弦與正弦，再加上平移。
不必一次背完整乘法，可以這樣讀：
- 平移為 0、比例為 1、角度為 0：矩陣接近單位狀態，實線應與虛線重合。
- 只改平移：前兩欄幾乎不動，最後一欄跟著 tx、ty 走，圖形形狀不變、位置變。
- 只改角度：圖形繞原點轉，平移欄仍是 0，三角形不會「自己轉一下卻同時飄到別處」。
- 只改比例：大小變、朝向不變。比例小於 1 是縮小，大於 1 是放大。
綜合預設（同時有平移、角度、比例）時，先在心裡把「大小與朝向」看成在原點完成，再把整個結果搬到 (tx, ty)。這樣對矩陣比較不容易把旋轉項誤認成平移。
函數圖問的是每一個 x 對應哪個 y；這裡問的是每一個點被同一套規則送到哪裡。蒙地卡羅用隨機點估面積；幾何變換的點是確定的，同一個輸入永遠得到同一個輸出。排序視覺化搬的是陣列位置，幾何搬的是平面座標。都可以「先看動畫、再回到定義」，定義不同。
看畫面時建議盯的三件事
- 虛線有沒有開：對照用。關掉原圖，就很難判斷你到底轉了還是移了。
- 原點在哪：網格中心附近。旋轉與縮放都對準它。
- 一次只動一個滑桿：先只轉、只移、只放，建立因果，再打開綜合預設。
國中相似形講放大縮小，高中才把旋轉矩陣寫出來。不必等到大學線性代數才碰這張圖：先承認順序會改變結果，再承認旋轉預設繞原點，已經能避開大半作業陷阱。需要繞三角形自己的中心轉時，數學上通常是「先移到原點、轉完、再移回去」；本工具沒有提供自訂旋轉中心，請不要以為滑桿角度是繞重心。
坪與公尺換算是固定係數，對完就能用。仿射變換的數字每次改順序就代表不同幾何故事，沒有「同一個 30 度永遠長一樣」這回事，除非平移與縮放也相同。二次函數圖改的是係數與截距；幾何變換改的是整張圖的位置與朝向。兩者都可以在畫布上即時看，但一個是 y 對 x 的對應，一個是點集合一起被搬動。
結語
讀幾何變換圖，先問這次縮放與旋轉是不是繞原點、平移是不是最後才做。虛線對原圖、實線對結果，矩陣最後一欄對位移。一次只改一個參數，順序爭議會少很多。工具幫你看見約定，作業若寫了另一種順序，以題目為準，不要硬把兩套步驟看成同一件事。