單位正方形邊長為 1，面積是 1。在裡面畫半徑 1 的四分之一圓，這塊扇形面積是 π／4。若點是均勻隨機丟進去的，落在扇形裡的機會就等於面積比 π／4。因此把圓內點數除以總點數，再乘 4，就得到 π 的估計。工具畫面用的就是這套，不是把圓周率公式背出來。本文講為什麼這在機率上說得通、為什麼加點以後仍會抖、它估不到「任意精確的 π」。擲筊或骰子也是隨機事件，但那些題在問民俗或公平骰；這裡問的是面積與頻率。
正方形、四分之一圓、那個 4 從哪來
把座標限在 0 到 1 的第一象限。點（x，y）落在四分之一圓內，條件是 x2 + y2 ≤ 1。這和國中圓方程式一致，只是半徑為 1、只取第一象限。
面積關係可以寫成：
扇形面積 ÷ 正方形面積 = (π／4) ÷ 1 = π／4
隨機試驗次數夠多時，頻率會靠近機率，所以：
圓內點數 ÷ 總點數 ≈ π／4
兩邊乘 4：
π ≈ 4 ×（圓內點數 ÷ 總點數）
點在圓外就只算分母、不算分子。畫面裡圓內一色、圓外一色，是在讓你看見這個比例，而不是在「畫得愈圓就愈準」。準不準取決於點怎麼抽、抽了多少，不取決於圓弧畫得漂不漂亮。
點愈多通常愈穩，但不是直線變準
蒙地卡羅這類用頻率去碰期望值的方法，典型誤差大約隨 1／√N 縮小：點數變成四倍，誤差量級大概減半，不是變成四分之一。所以從 100 點加到 400 點，你會覺得穩一點；想再明顯進步，往往要再乘上好幾倍，而不是再撒幾十點。
過程中的上下抖是正常的。前幾百點可能估成 3.0 或 3.3，然後晃回 3.14 附近。這不代表程式算錯，而是樣本還太小、隨機序列剛好偏圓內或偏圓外。瀏覽器的亂數是偽隨機，對這個教學實驗夠用，但不要把它當成密碼學等級的隨機源，也不要拿一次畫面去對答案到小數第十位。
「誤差百分比」若以公認的 π 當參考，只是讓你看到這一輪離得有多遠。真正的圓周率不是用撒點定義出來的；撒點只是用面積機率去逼近一個已存在的常數。要很多位小數，應使用專門的級數或高效率算法，而不是加無限多的彩色點。
看模擬時建議盯的三個數字
- 總點數 N：樣本夠不夠。N 太小時，比例會大幅跳。
- 圓內點數：分子。它應該大致落在總點的 78% 附近，因為 π／4 約 0.785。
- 4 倍比例：目前的 π 估計。把它和 3.14 比，看的是這一輪，不是保證下一秒更近。
重置再跑，路徑會變，因為亂數序列不同。兩次都「看起來很圓」但估計值不同，正是方法本身的個性。若你暫停後只留畫面上最後幾千點，視覺密度和解算用的累計總數也可能不是同一件事；以計數器上的總點與圓內點為準。
全圓面積是 πr2，這裡 r = 1，只取四分之一所以是 π／4。有人改用整圓加外接正方形，乘數就不是 4，比例公式要跟著改；教學畫面採用第一象限，是為了讓座標與判斷式 x2 + y2 ≤ 1 對得最直接。
和排序視覺化一樣：動畫幫你建立直覺，定義仍要回到式子。排序問的是相同鍵能不能被換位；這裡問的是頻率能不能代表面積。都是「畫面很忙，真正只盯一個不變量」。
這方法適合什麼、不適合什麼
適合：
- 第一次把「機率＝面積比」連起來
- 理解為何模擬要大量重複，而不是看一次運氣
- 對照擲筊、輪盤那些「單次結果戲劇性很強、長期頻率才穩」的經驗
不適合：
- 當成計算 π 的工業方法
- 用幾十個點去寫作業裡的「證明」
- 把抖動解釋成工具壞了
廟裡擲筊的聖筊頻率，長期也會靠近某個比例，但那是民俗與心理一起作用的現場，不能把四分之一圓的 4 倍公式直接套上去。骰子各面若公平，頻率靠近 1／6；圓內點則靠近 π／4。結構相似，事件不同。
結語
蒙地卡羅估 π，靠的是均勻撒點時頻率靠近面積比，再把四分之一圓的 π／4 乘回 4。點數變多，誤差量級會往下走，但路徑仍會抖。把計數看清楚，比把畫面看成藝術品有用。它示範的是隨機模擬能逼近確定常數，而不是取代圓周率本身的數學定義。